第九章 假设检验

9.1. 假设检验的问题设定与流程

什么是假设？

• 设总体的未知参数为 $\theta$$\theta$。我们希望判断 $\theta$$\theta$ 是否属于一个给定集合 ${\mathrm{\Theta }}_0$$\Theta_0$。

• 对此，我们首先提出假设（hypothesis）：

而后设计数理统计方法对这个假设进行检验。

• 收集样本，考察样本数据是否与提出的假设在统计意义上不一致或不相容。

• 简单假设（simple hypothesis）：${\mathrm{\Theta }}_0$$\Theta_0$ 只包含一个元素 ${\theta }_0$$\theta_0$。

• 复合假设（composite hypothesis）：${\mathrm{\Theta }}_0$$\Theta_0$ 包含两个或两个以上元素。

假设的例⼦

• 总体为 $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$$\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$，其中 ${\sigma }^2$$\sigma^2$ 已知但 $\mu$$\mu$ 未知，${\mu }_0$$\mu_0$ 为一给定常数。则

表示“总体服从 $\mathcal{N}({\mu }_0,{\sigma }^2)$$\mathcal{N}(\mu_0,\sigma^2)$”。这是一个简单假设。

• 总体为 $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$$\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$，其中 $\mu$$\mu$ 与 ${\sigma }^2$$\sigma^2$ 均未知，${\mu }_0$$\mu_0$ 为一给定常数。则

表示“总体服从期望为 ${\mu }_0$$\mu_0$ 的某个正态分布”。这是一个复合假设。

• 总体为 $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$$\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$，其中 $\mu$$\mu$ 与 ${\sigma }^2$$\sigma^2$ 均未知，${\sigma }_0$$\sigma_0$ 为一给定常数。则

表示“总体服从方差不小于 ${\sigma }_0^2$$\sigma_0^2$ 的某个正态分布”。这是一个复合假设。

原假设与备择假设

• 通常我们会提出两个假设：

其中：

• $H_0$$H_0$ 称为原假设或零假设（null hypothesis）；

• $H_1$$H_1$ 称为备择假设（alternative hypothesis）。

• 原假设：通常是希望通过收集足够多的数据，以足够可靠的方式否定的假设。

  • 总体符合已知规律或常理；

  • 没有新现象；

  • 旧理论成立；

  • 新方法无效。

• 备择假设：原假设不成立时，总体会以何种方式偏离原假设。

  • 总体按某种方式偏离了已知规律或常理；

  • 出现某种新现象；

  • 旧理论失效；

  • 新方法有效。

假设检验的基本流程

• 考虑原假设为简单假设的情形：

1. 设计检验统计量（test statistic）

• $H_0$$H_0$ 成立时，$T$$T$ 具有取值偏小的趋势；

• $H_1$$H_1$ 成立时，$T$$T$ 具有取值偏大的趋势。

2. 获取一份样本值 $x_1,\dots ,x_n$$x_1,\ldots,x_n$，并计算

3. 计算 $p$$p$ 值（$p$$p$-value）：

其含义是：若再从总体获取一份新样本，在原假设成立的情况下，新样本与已有样本相比同等极端或更加极端的概率是多少。

4. 根据 $p$$p$ 值大小做出结论：

   • $p$$p$ 值非常小：在 $H_0$$H_0$ 成立时，产生与已有样本相比同样极端或更加极端的样本是小概率事件。依小概率原理，可以认为获取到的样本值相对于 $H_0$$H_0$ 发生了显著偏离，因此该样本值为否定原假设提供了统计上显著的证据。

   • $p$$p$ 值并非很小：获取到的样本值不能为否定 $H_0$$H_0$ 提供统计上显著的证据。

     • 这不意味着有充分证据支持 $H_0$$H_0$ 成立。

常用的 $p$$p$ 值证据强度参考如下：

5. 有时我们需要在 $H_0$$H_0$ 与 $H_1$$H_1$ 之间做出明确选择。

   • 事先设定一个很小的 $\alpha>0$ 作为显著性水平（significance level）。

   • 若 $p$$p$ 值小于 $\alpha$$\alpha$，则拒绝原假设；否则不拒绝原假设。

   • 常见的显著性水平为

实际报告中通常应给出具体的 $p$$p$ 值，并说明在选定显著性水平下是否拒绝 $H_0$$H_0$，而不宜简单表述为“接受 $H_0$$H_0$”。

例题

• 总体为 $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$$\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$，其中 ${\sigma }^2$$\sigma^2$ 已知但 $\mu$$\mu$ 未知，${\mu }_0$$\mu_0$ 为一给定常数。考虑假设检验

• 选取检验统计量

在 $H_0$$H_0$ 成立时，

• 设样本值为 $x_1,\dots ,x_n$$x_1,\ldots,x_n$，记

由于备择假设为 $\mu>\mu_0$，较大的 $Z$$Z$ 值更支持 $H_1$$H_1$，因此 $p$$p$ 值为右尾概率

• 若事先设定显著性水平 $\alpha$$\alpha$，则拒绝 $H_0$$H_0$ 当且仅当

等价地，

因此，该右侧 $Z$$Z$ 检验的拒绝域为

双侧检验(Two-Sided Test)

• 在前面的例子中，我们只在检验统计量 $T$$T$ 的取值偏大时，才认为样本值相对于原假设 $H_0$$H_0$ 产生了偏离。

• 在不少问题中，采用双侧检验统计量会更加合理或方便：$T$$T$ 取过大或过小的值，都提示样本值与原假设 $H_0$$H_0$ 存在不一致。

  • 给定

若 ${\mathrm{\Theta }}_1$$\Theta_1$ 相对于 ${\mathrm{\Theta }}_0$$\Theta_0$ 既包含正向的偏离，也包括负向的偏离，则通常会采用双侧检验统计量。

• 当原假设为简单假设时，若采用双侧检验统计量 $T$$T$，则相应的 $p$$p$ 值被定义为

• 只要

二者中有一个值很小，就认为样本值为否定原假设提供了统计上显著的证据。

• 为什么多出一个因子 $2$$2$？

若双侧检验统计量 $T$$T$ 在原假设 $H_0$$H_0$ 下服从关于原点对称的连续型分布，则

因此，两侧同等或更加极端的总概率为较小单侧尾概率的两倍。此时，用 $T$$T$ 进行双侧检验与用 $|T|$$|T|$ 进行单侧检验会给出相同的结果。

• 若双侧检验统计量 $T$$T$ 在原假设 $H_0$$H_0$ 下的分布关于原点不对称，则通常不考虑直接用 $|T|$$|T|$ 进行单侧检验。

例题

• 总体为 $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$$\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$，其中 ${\sigma }^2$$\sigma^2$ 已知但 $\mu$$\mu$ 未知，${\mu }_0$$\mu_0$ 为一给定常数。考虑双侧假设检验

• 选取双侧检验统计量

在 $H_0$$H_0$ 成立时，

• 设样本值为 $x_1,\dots ,x_n$$x_1,\ldots,x_n$，记观测值

由于标准正态分布关于原点对称，双侧 $p$$p$ 值为

• 若事先设定显著性水平 $\alpha$$\alpha$，则拒绝 $H_0$$H_0$ 当且仅当

等价地，

因此，该双侧 $Z$$Z$ 检验的拒绝域为

9.2. Neyman‒Pearson 理论简介

假设检验的拒绝域法

• Neyman-Pearson 理论面向原假设/备择假设二选一这类问题。

• 设 $H_0$$H_0$ 为简单假设， $T=\varphi (X_1,\dots ,X_n)$$T=\phi(X_1,\ldots,X_n)$ 为单侧检验统计量。

• 另一种等价的假设检验流程：

  其中

• $c_{\alpha }$$c_\alpha$ 被称为临界点（critical value）。

  集合 $C_{\alpha }=(c_{\alpha },+\mathrm{\infty })$$C_\alpha=(c_\alpha,+\infty)$ 被称为拒绝域（rejection/critical region）。

• 根据检验统计量的值是否属于拒绝域来决定是否拒绝 $H_0$$H_0$。

• 本课程的例子中，单侧检验的临界点都可通过解如下方程得到：

  $${\mathbb{P}}_{{\theta }_0}(T\ge c_{\alpha })=\alpha .$$

第 I 类错误与第 II 类错误

• 第 I 类错误（Type I error）：在 $H_0$$H_0$ 成立时拒绝了 $H_0$$H_0$。

• 第 II 类错误（Type II error）：在 $H_1$$H_1$ 成立时接受了 $H_0$$H_0$。

在 Neyman-Pearson 理论中，我们用如下指标评价检验统计量的好坏：

• 假设我们取定总体的参数使得 $H_0$$H_0$ 成立，将抽样和检验过程重复多次，则检验结果中发生第 I 类错误的频率在重复次数趋于无穷时将趋于多少？

• 假设我们取定总体的参数使得 $H_1$$H_1$ 成立，将抽样和检验过程重复多次，则检验结果中发生第 II 类错误的频率在重复次数趋于无穷时将趋于多少？

• 第 I 类错误概率：

  $${\mathbb{P}}_{\theta }(T\in C_{\alpha }),\theta \in {\mathrm{\Theta }}_0.$$

• 第 II 类错误概率：

  $${\mathbb{P}}_{\theta }(T\notin C_{\alpha }),\theta \in {\mathrm{\Theta }}_1.$$

• 功效函数（power function）：

  $$w(\theta )=w_T^{\alpha }(\theta )={\mathbb{P}}_{\theta }(T\in C_{\alpha }),\theta \in {\mathrm{\Theta }}_0\cup {\mathrm{\Theta }}_1.$$

• 当样本容量固定时，通常无法同时让第 I 类错误概率和第 II 类错误概率都取得任意小。

• Neyman-Pearson 理论的对策：

  • 在开始检验之前，首先对第 I 类错误概率设定一个上界。

  • 在第 I 类错误概率满足上界的前提下，通过选择合适的检验统计量，使得第 II 类错误概率对任意 $\theta \in {\mathrm{\Theta }}_1$$\theta\in\Theta_1$ 都尽量小。

• 若原假设 $H_0$$H_0$ 为简单假设，且检验统计量在 $H_0$$H_0$ 下服从连续型分布，则第 I 类错误概率就等于显著性水平：

  $${\mathbb{P}}_{{\theta }_0}(T\in C_{\alpha })=\alpha .$$

• 在 Neyman-Pearson 理论中，也包括了如何设计最优的检验统计量，使其在给定的显著性水平下取到最小的第 II 类错误概率。

  • 本课程不要求对这些理论有所了解（若感兴趣，可阅读讲义 9.6 节内容）。

• 通过对第 II 类错误概率施加合适的上界，可以帮助我们确定样本容量大小。

原假设为复合假设的场合

本课程只考虑两种原假设为复合假设的场合：

• 存在某个检验统计量 $T$$T$，使得原假设 $H_0$$H_0$ 下 $\theta \in {\mathrm{\Theta }}_0$$\theta\in\Theta_0$ 的值无论怎样取，$T$$T$ 都服从同一个分布。

  • 在这种场合下，可以把复合假设 $H_0$$H_0$ 当作是一个简单假设去处理。

  • 例：方差未知时单个正态总体的期望的检验。

• 原假设与备择假设形如

  • 这种情形下，我们尝试找到一个单侧检验统计量 $T$$T$，使其满足如下条件：

    1. 给定任意 $\psi$$\psi$，$T$$T$ 的分布是唯一确定的，而与多余参数的取值无关。

    2. 给定任意 $t$$t$， ${\mathbb{P}}_{\psi }(T\ge t)$$\mathbb{P}_\psi(T\geq t)$ 在 $\psi \le {\psi }_0$$\psi\leq\psi_0$ 时的最大值由 ${\mathbb{P}}_{{\psi }_0}(T\ge t)$$\mathbb{P}_{\psi_0}(T\geq t)$ 给出。

  • 则此时可将原问题替换为

9.3. 单个总体下的假设检验

正态总体期望的检验 (⽅差已知)

• 总体服从正态分布 $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$$\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$，期望 $\mu$$\mu$ 未知，方差 ${\sigma }^2$$\sigma^2$ 已知。

检验方法汇总

记

其中 $Z$$Z$ 为检验统计量，$z$$z$ 为根据样本观测值计算得到的统计量取值。

推导解析

设 $X_1,\dots ,X_n$$X_1,\ldots,X_n$ 是来自总体 $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$$\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ 的简单随机样本。由于

当原假设 $H_0:\mu ={\mu }_0$$H_0:\mu=\mu_0$ 成立时，

因此，可以利用标准正态分布确定拒绝域和 $p$$p$ 值。这里 $z_{\alpha }$$z_\alpha$ 表示标准正态分布的上 $\alpha$$\alpha$ 分位数，即

1. 右侧检验： $H_1:\mu>\mu_0$

   当 $\mu>\mu_0$ 时，$\bar{X}$$\overline{X}$ 倾向于偏大，因而 $Z$$Z$ 也倾向于取较大的值。显著性水平为 $\alpha$$\alpha$ 时，临界点满足

   所以拒绝域为 $z>z_\alpha$。观测到统计量值 $z$$z$ 后，其 $p$$p$ 值为右尾概率

   $$p={\mathbb{P}}_{{\mu }_0}(Z\ge z)=1-\mathrm{\Phi }(z).$$

2. 左侧检验： $H_1:\mu<\mu_0$

   当 $\mu<\mu_0$ 时，$\bar{X}$$\overline{X}$ 倾向于偏小，$Z$$Z$ 倾向于取较小的值。由标准正态分布的对称性，

   所以拒绝域为 $z<-z_\alpha$，$p$$p$ 值为左尾概率

   $$p={\mathbb{P}}_{{\mu }_0}(Z\le z)=\mathrm{\Phi }(z).$$

3. 双侧检验： $H_1:\mu \ne {\mu }_0$$H_1:\mu\neq\mu_0$

   当样本均值相对于 ${\mu }_0$$\mu_0$ 向任一方向发生较大偏离时，都应拒绝 $H_0$$H_0$。将显著性水平 $\alpha$$\alpha$ 平分到分布两端，有

   因此拒绝域为 $\lvert z\rvert>z_{\alpha/2}$。比观测值同样或更加极端，表示 $|Z|\ge |z|$$\lvert Z\rvert\geq\lvert z\rvert$，故

在三种情形中，均可等价地使用判断规则：当 $p<\alpha$ 时拒绝原假设 $H_0$$H_0$。

例题

• 设某家工厂生产了一批钓鱼用的鱼线。该批鱼线标称的强度值为 $8$$8$ 千克，但每条鱼线的强度值允许有上下浮动，其分布为正态分布，标准差为 $0.5$$0.5$ 千克。该工厂从这批鱼线中随机抽取了 $50$$50$ 条并进行了测试，发现这 $50$$50$ 条鱼线强度的平均值为 $7.8$$7.8$ 千克。试问这批鱼线的强度是否与标称值相符？取显著性水平为 $1\mathrm{\%}$$1\%$。

• 已知 $z_{0.01}=2.3263,z_{0.005}=2.5758$$z_{0.01}=2.3263,\ z_{0.005}=2.5758$。

解答与推导

总体服从正态分布

其中总体期望 $\mu$$\mu$ 未知。题目要求判断真实平均强度是否等于标称值 $8$$8$ 千克，因此应进行双侧检验：

在 $H_0$$H_0$ 成立时，样本均值满足

故标准化后得到检验统计量

将 $n=50$$n=50$、 $\bar{x}=7.8$$\overline x=7.8$ 和 $\sigma =0.5$$\sigma=0.5$ 代入：

因为备择假设为 $\mu \ne 8$$\mu\ne8$，平均强度无论显著偏高还是显著偏低，都应拒绝 $H_0$$H_0$。显著性水平 $\alpha =0.01$$\alpha=0.01$ 被平均分配到标准正态分布的两个尾部，每侧概率为

因此拒绝域为

当前样本中

所以在 $1\mathrm{\%}$$1\%$ 的显著性水平下拒绝原假设 $H_0$$H_0$，接受备择假设 $H_1$$H_1$。即有统计上显著的证据表明：

这批鱼线的平均强度与标称值 $8$$8$ 千克不相符。

从方向上看， $\overline x=7.8<8$ 且 $z<0$，样本表明其平均强度可能低于标称值；但本题采用双侧检验，正式结论是“不等于 $8$$8$”，而不是只检验“低于 $8$$8$”。

如何确定样本容量？

• 总体服从正态分布 $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$$\mathcal N(\mu,\sigma^2)$，期望 $\mu$$\mu$ 未知，方差 ${\sigma }^2$$\sigma^2$ 已知。

• 原假设与备择假设为

  $$H_0:\mu ={\mu }_0\text{vs.}{H}_1:\mu \ne {\mu }_0.$$

• 对于备择假设，我们关心在 $|\mu -{\mu }_0|\ge \delta$$|\mu-\mu_0|\ge\delta$ 时的第 II 类错误概率。

• 如果希望所有满足 $|\mu -{\mu }_0|\ge \delta$$|\mu-\mu_0|\ge\delta$ 的参数值对应的第 II 类错误概率都不超过给定的 $\beta$$\beta$，样本容量 $n$$n$ 应满足什么条件？

功效函数

显著性水平为 $\alpha$$\alpha$ 的双侧检验使用统计量

其拒绝域为

当真实期望为 $\mu$$\mu$ 时，

记

由于双侧检验关于 $0$$0$ 对称，其功效函数只与 $|\mu -{\mu }_0|$$|\mu-\mu_0|$ 有关：

这里 $w(\mu )$$w(\mu)$ 表示当真实参数为 $\mu$$\mu$ 时正确拒绝 $H_0$$H_0$ 的概率。真实期望偏离 ${\mu }_0$$\mu_0$ 越远，$\lambda$$\lambda$ 越大，功效越高。

第 II 类错误概率

第 II 类错误是 $H_1$$H_1$ 成立时没有拒绝 $H_0$$H_0$，故其概率为

最后一个不等式来自 $\Phi(\cdot)>0$。因此，只要右侧的上界不超过 $\beta$$\beta$，实际的第 II 类错误概率也一定不超过 $\beta$$\beta$。

推导样本容量

要求对所有 $|\mu -{\mu }_0|\ge \delta$$|\mu-\mu_0|\ge\delta$ 均有第 II 类错误概率不超过 $\beta$$\beta$，一个充分条件是

当 $|\mu -{\mu }_0|=\delta$$|\mu-\mu_0|=\delta$ 时，上式左侧最大，因此只需令

按上分位数的定义 $\mathrm{\Phi }(-z_{\beta })=\beta$$\Phi(-z_\beta)=\beta$，由 $\mathrm{\Phi }$$\Phi$ 单调递增可得

整理得

从而

由于样本容量必须为整数，实际应取

该公式保证：当真实期望与 ${\mu }_0$$\mu_0$ 的偏差至少为 $\delta$$\delta$ 时，检验以不低于 $1-\beta$$1-\beta$ 的概率发现这种偏差。由于推导中对第 II 类错误概率使用了上界，该样本量条件是一个略偏保守的充分条件。

正态总体期望的检验 (⽅差未知)

• 总体服从正态分布 $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$$\mathcal N(\mu,\sigma^2)$，期望 $\mu$$\mu$ 与方差 ${\sigma }^2$$\sigma^2$ 均未知。

• 以双侧检验为例，原假设与备择假设为

  $$H_0:\mu ={\mu }_0\text{vs.}{H}_1:\mu \ne {\mu }_0.$$

  由于 $\sigma^2>0$ 未知，严格地写为

  因而原假设中包含未知的多余参数 ${\sigma }^2$$\sigma^2$，是一个复合原假设。

• 检验统计量为

  $$T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sqrt{S^2/n}}=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-{\mu }_0)}{S}.$$

• 在原假设 $H_0$$H_0$ 下，

  $$T\sim t(n-1).$$

• 设样本观测值算出的统计量为 $t$$t$，则双侧检验的 $p$$p$ 值为

  $$\hat{p}=2[1-F_{n-1}^t(\left|t\right|)],$$

  其中 $F_{n-1}^t(x)$$F_{n-1}^{t}(x)$ 表示自由度为 $n-1$$n-1$ 的 $t$$t$ 分布的累积分布函数。

• 显著性水平为 $\alpha$$\alpha$ 时，双侧检验的拒绝域为

检验统计量的推导

由于总体服从正态分布，有

并且

对于正态总体，样本均值 $\bar{X}$$\overline X$ 与样本方差 $S^2$$S^2$ 相互独立，因此 $Z$$Z$ 与 $V$$V$ 相互独立。根据 $t$$t$ 分布的定义，

在 $H_0:\mu ={\mu }_0$$H_0:\mu=\mu_0$ 成立时，

所以，在 $H_0$$H_0$ 下，

这个分布不再含未知参数 ${\sigma }^2$$\sigma^2$，因此可以用它完成检验。

三种检验情形

记样本观测值对应的统计量为

拒绝域与 $p$$p$ 值的推导

自由度为 $n-1$$n-1$ 的 $t$$t$ 分布关于 $0$$0$ 对称。

1. 当 $H_1:\mu>\mu_0$ 时，较大的正值 $t$$t$ 支持备择假设。因此

   $$p={\mathbb{P}}_{H_0}(T\ge t)=1-F_{n-1}^t(t),$$

   把显著性水平 $\alpha$$\alpha$ 放在右尾，得到拒绝域

2. 当 $H_1:\mu<\mu_0$ 时，较小的负值 $t$$t$ 支持备择假设。因此

   $$p={\mathbb{P}}_{H_0}(T\le t)=F_{n-1}^t(t),$$

   把显著性水平 $\alpha$$\alpha$ 放在左尾。由对称性，拒绝域为

3. 当 $H_1:\mu \ne {\mu }_0$$H_1:\mu\ne\mu_0$ 时，过大的正值或过小的负值都支持备择假设。观测统计量与原点的距离为 $|t|$$|t|$，故

   将显著性水平 $\alpha$$\alpha$ 平均分到两侧，每侧为 $\alpha /2$$\alpha/2$，得到拒绝域

综上，方差未知时不能使用含有未知 $\sigma$$\sigma$ 的 $Z$$Z$ 统计量，而应使用样本标准差 $S$$S$ 构造 $t$$t$ 统计量。若 $p<\alpha$，则拒绝原假设 $H_0$$H_0$；否则不能拒绝 $H_0$$H_0$。

配对 t 检验(Paired t-test)

• 设总体为一个随机向量 $(X,Y)$$(X,Y)$，此时样本由相互独立的成对数据构成：

  $$(X_1,Y_1),\dots ,(X_n,Y_n).$$

• 注意：同一对中的 $X_i$$X_i$ 与 $Y_i$$Y_i$ 不一定相互独立，但不同的样本对 $(X_i,Y_i)$$(X_i,Y_i)$ 之间相互独立。

• 对总体的分布进一步假设 $X-Y$$X-Y$ 服从正态分布，其期望 ${\mu }_D$$\mu_D$ 与方差均未知。

• 我们希望检验 ${\mu }_D$$\mu_D$ 是否等于某个给定值：

  $$H_0:{\mu }_D={\mathrm{\Delta }}_0\text{vs.}{H}_1:{\mu }_D\ne {\mathrm{\Delta }}_0.$$

• 检验统计量为

  $$T=\frac{\bar{D}-{\mathrm{\Delta }}_0}{\sqrt{S_D^2/n}},$$

  其中

  $$D_i=X_i-Y_i,\bar{D}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-Y_i),$$
  $$S_D^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{(X_i-Y_i-\bar{D})}^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(D_i-\bar{D}{)}^2.$$

• 在原假设 $H_0$$H_0$ 下，

  $$T\sim t(n-1).$$

• 剩余步骤与普通的单样本 $t$$t$ 检验相同。

推导解析

配对 $t$$t$ 检验的关键是先把每一对观测转化为一个差值：

虽然同一对中的 $X_i$$X_i$ 与 $Y_i$$Y_i$ 可能相关，但由于不同样本对相互独立，所以

仍然相互独立，并且都与总体差值变量

同分布。因此，配对样本问题可以化为关于差值总体 $D$$D$ 的单样本均值检验。

若假设

其中 ${\mu }_D$$\mu_D$ 和 ${\sigma }_D^2$$\sigma_D^2$ 均未知，则有

以及

对于正态总体，$\bar{D}$$\overline D$ 与 $S_D^2$$S_D^2$ 相互独立。根据 $t$$t$ 分布的定义，

在原假设 $H_0:{\mu }_D={\mathrm{\Delta }}_0$$H_0:\mu_D=\Delta_0$ 下，将 ${\mu }_D$$\mu_D$ 替换为 ${\mathrm{\Delta }}_0$$\Delta_0$，便得到

因此，配对 $t$$t$ 检验本质上就是对差值样本

实施单样本 $t$$t$ 检验。

拒绝域与 $p$$p$ 值

设根据样本计算出的统计量为

三种备择假设对应的检验规则为：

其中 $F_{n-1}^t$$F_{n-1}^{t}$ 是自由度为 $n-1$$n-1$ 的 $t$$t$ 分布的累积分布函数。

为什么使用配对检验

配对数据中的两个测量通常来自同一个个体或彼此匹配的对象，例如同一受试者治疗前后的测量值。若 $X$$X$ 与 $Y$$Y$ 正相关，则

正的协方差会降低差值的方差。配对检验利用了这种一一对应关系，通常比忽略配对关系、直接采用两个独立样本检验更有效。

配对检验要求差值 $D_i$$D_i$ 近似服从正态分布，而不是分别要求 $X_i$$X_i$ 和 $Y_i$$Y_i$ 相互独立。若要检验“配对前后没有平均变化”，通常取

例：配对 t 检验

• 研究人员针对钢板梁设计了两种抗剪强度的预测方法。将这两种预测方法用于随机选取的 $9$$9$ 件样品，结果如下：